vergelijking met priemgetal

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
donald
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 10
Lid geworden op: 21 sep 2023, 18:02

vergelijking met priemgetal

Bericht door donald » 21 sep 2023, 18:27

hey,

kan iemand onderstaande vraag oplossen?

zoek x, p met x element van natuurlijke getallen zonder nul en p priem zodat:

p^2 (p^3 + 1) = x^2 (x^6 - 1)

merci, donald

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3928
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: vergelijking met priemgetal

Bericht door arie » 22 sep 2023, 10:05

Definieer onder gehele getallen:
\(L = p^2(p^3+1)\) (voor priem p)
\(R = x^2(x^6-1)\) (voor x > 0)

Voor p = 2 is er geen oplossing:
Als p = 2 dan is L = 4*9 = 36
maar:
- als x = 1 dan is R = 0
- als x = 2 dan is R = 4 * 63 > 36
- en voor x>2 wordt R alleen nog maar groter,
Dus: p ≥ 3

Omgekeerd:
Voor x = 1 is R = 0, en is er geen oplossing (want L ≥ 36)
Dus: x ≥ 2
Maar dit betekent dat
\(R = x^2(x^6-1) = x^2(x^3+1)(x^3-1) \ge 7x^2(x^3+1)\)
en als L = R is, dan moet dus gelden:
\(p^2(p^3+1) \ge 7x^2(x^3+1)\)
waardoor p > x moet zijn

Omdat p² een deler is van L, moet p² ook R delen.
p² kan niet x² delen, want dan moet p ≤ x zijn, en we hadden gezien dat p > x is.
Dus moet p² een deler zijn van \(x^6 - 1 = (x^3-1) (x^3+1)\)

p kan niet zowel (x³ - 1) als (x³ + 1) delen,
want dan zou p ook het verschil van deze twee getallen = (x³ + 1) - (x³ - 1) = 2 delen,
terwijl we gezien hadden dat p ≥ 3

Dus ofwel p² deelt (x³ - 1), ofwel p² deelt (x³ + 1)
[1]
(x³ - 1) = (x-1)(x² + x + 1)
p deelt (x-1) niet, want p > x > x-1, dus
p² zou (x² + x + 1) moeten delen.
Maar dit laatste kan ook niet: omdat p > x, is er een a > 0 zodanig dat p² = (x+a)² = x² + 2ax + a² > x² + x + 1
[2]
dus p² moet (x³ + 1) delen.
(x³ + 1) = (x+1)(x² - x + 1)
Net als onder [1] deelt p² elk van deze factoren niet: voor onze waarden van p en x is
p² = (x+a)² = x² + 2ax + a² > x + 1
en
p² = (x+a)² = x² + 2ax + a² > x² - x + 1
Blijft over:
p is een deler van (x+1) EN p is een deler van (x² - x + 1)
Omdat p>x een deler is van (x+1), moet dus gelden p=x+1
En omdat p=x+1 ook een deler moet zijn van (x² - x + 1), moet
\(\frac{x^2-x+1}{p} = \frac{x^2-x+1}{x+1} = x - 2 + \frac{3}{x+1}\) geheel zijn.
Omdat x en 2 geheel zijn, moet \(\frac{3}{x+1}\) dus ook geheel zijn
Dit laatste lukt voor x ≥ 2 alleen als x = 2.

Conclusie:
x = 2 en p = x+1 = 3 is de enige oplossing.


PS: ik heb van je bericht een nieuw onderwerp gemaakt.
Je mag op dit forum zelf ook altijd een nieuw onderwerp starten.

Plaats reactie