Hallo,
Is het mogelijk om deze formule te vereenvoudigen?
integrate d from 0 to 2 x. sqrt x^ ln x . sqrt[3] x^ ln^ 2 x. sqrt[4] x^ ln^ 3 x sqrt[5] ... dx
Alvast bedankt.
Formule vereenvoudigen
-
Patrick1960
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Formule vereenvoudigen
\(x \cdot \sqrt{ x^{ \ln x}} \cdot \sqrt[3]{ x^ {\ln^2 x}} \cdot \sqrt[4]{ x^{ \ln^ 3 x}} ... \)
\(= x \cdot x^{\frac{1}{2}\ln x} \cdot x^{\frac{1}{3}\ln^2 x}\cdot x^{\frac{1}{4}\ln^3 x} ... \)
\(= x^{(1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\ln x \cdot (1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\frac{1}{1}\ln x + \frac{1}{2}\ln^2 x+\frac{1}{3}\ln^3 x+\frac{1}{4}\ln^4 x ...} \)
\(= e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } \)
Kom je hiermee verder?
\(= x \cdot x^{\frac{1}{2}\ln x} \cdot x^{\frac{1}{3}\ln^2 x}\cdot x^{\frac{1}{4}\ln^3 x} ... \)
\(= x^{(1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\ln x \cdot (1+ \frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln^2 x+\frac{1}{4}\ln^3 x ...)} \)
\(= e^{\frac{1}{1}\ln x + \frac{1}{2}\ln^2 x+\frac{1}{3}\ln^3 x+\frac{1}{4}\ln^4 x ...} \)
\(= e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } \)
Kom je hiermee verder?
-
Patrick1960
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Formule vereenvoudigen
Dankjewel
Ik bekijk het morgen.
Ik bekijk het morgen.
-
Patrick1960
- Vast lid
- Berichten: 25
- Lid geworden op: 03 dec 2019, 07:07
Re: Formule vereenvoudigen
Ik probeer dit om te zetten naar een getal maar met de calculaters die ik vind kom ik er niet.
Hebben jullie soms een link?
Hebben jullie soms een link?
Re: Formule vereenvoudigen
Gebruik dat voor \(\small -1 \le x < 1\) geldt:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\)
en evenzo voor \(\small -1 \le \ln(x) < 1\):
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln x)^n}{n} = -\ln(1-\ln x)\)
Dat geeft:
\( e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } = e^{-\ln(1-\ln x)} =\; \frac{1}{e^{\ln(1-\ln x)}}= \frac{1}{1-\ln x}\)
Voorbeeld:
Kies x=2 (\(\small -1 \le \ln(2) = 0.693147... < 1\) ):
\(\frac{1}{1-\ln x}=\frac{1}{1-\ln 2}=3.25889135327...\)
En hier de benaderingen met de eerste 5, 10, 20, 50 en 100 termen van de sommatie:
\( e^{\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.\;10834745199\)
\( e^{\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.2\;4424260692\)
\( e^{\sum_{i=1}^{20} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.258\;68154068\)
\( e^{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135\;175\)
\( e^{\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135327\)
De sommaties kan je bijvoorbeeld uitrekenen via WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=e% ... %2Fi%29%29
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\)
en evenzo voor \(\small -1 \le \ln(x) < 1\):
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(\ln x)^n}{n} = -\ln(1-\ln x)\)
Dat geeft:
\( e^{\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i}\ln^i x } = e^{-\ln(1-\ln x)} =\; \frac{1}{e^{\ln(1-\ln x)}}= \frac{1}{1-\ln x}\)
Voorbeeld:
Kies x=2 (\(\small -1 \le \ln(2) = 0.693147... < 1\) ):
\(\frac{1}{1-\ln x}=\frac{1}{1-\ln 2}=3.25889135327...\)
En hier de benaderingen met de eerste 5, 10, 20, 50 en 100 termen van de sommatie:
\( e^{\sum_{i=1}^{5} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.\;10834745199\)
\( e^{\sum_{i=1}^{10} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.2\;4424260692\)
\( e^{\sum_{i=1}^{20} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.258\;68154068\)
\( e^{\sum_{i=1}^{50} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135\;175\)
\( e^{\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{i}\ln^i(2) } = 3.25889135327\)
De sommaties kan je bijvoorbeeld uitrekenen via WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input?i=e% ... %2Fi%29%29