integraal

[Patrick1960]

Hallo,

Is er iemand die kan helpen met het oplossen van onderstaande formule.

Alvast bedankt voor jullie tijd!


\(I=\int_{-2022\pi }^{2022\pi }min\left\{cos(4x),sin(8\left| x\right|) \right\}dx\)

[arie]

De functie is symmetrisch t.o.v. de y-as, en heeft periode \(\frac{1}{2}\pi\).
We kunnen dus volstaan met de integraal van \(0\) tot \(\frac{1}{2}\pi\), en die uitkomst te vermenigvuldigen met 2*2*2022.
Op het interval van \(0\) tot \(\frac{1}{2}\pi\) zijn alle x-waarden niet-negatief, zodat we de modulusstrepen kunnen laten vervallen.
Dan moeten we deze integraal nog bepalen:

\(I_{periode}=\int_0^{\pi/2 }min\left\{cos(4x),sin(8 x) \right\}dx\)

In bovenstaand plaatje is sin(|8x|) in blauw weergegeven, cos(4x) in groen.
We moeten dan het minimum van die twee functies bepalen = de curve die in rood is weergegeven.
De integraal \(I_{periode}\) bestaat volgens het plaatje uit 5 delen.

De grenzen van deze delen zijn de snijpunten van de groene en blauwe curve (naast het begin- en eindpunt van het interval \(0 ...\frac{1}{2}\pi)\):
\(cos(4x) = sin(8x)\)
gebruik sin(2x)=2*sin(x)*cos(x):
\(cos(4x) = 2sin(4x)cos(4x)\)

\(2sin(4x)cos(4x)-cos(4x)=0\)

\(cos(4x)\cdot (2sin(4x)-1)=0\)

\(cos(4x) = 0 \;\; \vee \;\; 2sin(4x)-1=0\)

en bepaal nu de grenswaarden van je deelintervallen en de benodigde 5 integralen.


Kom je hiermee verder?

[Patrick1960]

Mocht je mij nog meer kunnen helpen dan zou je mij een groot plezier doen.
Alvast bedankt!

[arie]

\(cos(4x) = 0\)
levert:
\(4x = \frac{1}{2}\pi + k\pi \;\; (k \in \mathbb{Z})\)
ofwel
\(x = \frac{1}{8}\pi + \frac{1}{4}k\pi\)
Dit zijn de rode punten in het plaatje van mijn vorige post.

\(2sin(4x)-1=0\)
ofwel
\(sin(4x)=\frac{1}{2}\)
ofwel
\(4x=\frac{1}{6}\pi + 2k\pi \;\; \vee \;\; 4x = \frac{5}{6}\pi + 2k\pi\)
ofwel
\(x=\frac{1}{24}\pi + \frac{1}{2}k\pi \;\; \vee \;\; x = \frac{5}{24}\pi + \frac{1}{2}k\pi\)
De eerste oplossing hiervan zijn de blauwe punten, de tweede de groene punten.

We hebben dus deze 6 integratiegrenzen op het interval van \(0\) tot \(\frac{1}{2}\pi\):
\(0\)
\(\frac{1}{24}\pi\)
\(\frac{1}{8}\pi\)
\(\frac{5}{24}\pi\)
\(\frac{3}{8}\pi\)
\(\frac{1}{2}\pi\)

waardoor (op elk interval moeten we "de kleinste" van de functies cos(4x) en sin(8x) hebben):

\(I_{periode} = \int_0^{\pi/24}\sin(8x)dx + \int_{\pi/24}^{\pi/8}\cos(4x)dx + \int_{\pi/8}^{5\pi/24}\sin(8x)dx +\)
\(+ \int_{5\pi/24}^{3\pi/8}\cos(4x)dx + \int_{3\pi/8}^{\pi/2}\sin(8x)dx\)

\(I_{periode} = -\frac{1}{8}(\cos(\frac{\pi}{3})-\cos(0)) + \frac{1}{4}(\sin(\frac{\pi}{2})-\sin(\frac{\pi}{6})) -\frac{1}{8}(\cos(\frac{5\pi}{3})-\cos(\pi)) +\)
\(+ \frac{1}{4}(\sin(\frac{3\pi}{2})-\sin(\frac{5\pi}{6})) -\frac{1}{8}(\cos(4\pi)-\cos(3\pi))\)

\(I_{periode}= \frac{1}{16} + \frac{2}{16} - \frac{3}{16} - \frac{6}{16} - \frac{4}{16} = - \frac{10}{16} = - \frac{5}{8}\)

waarmee

\(I = 8088 \cdot \left(- \frac{5}{8}\right) = -5055\)

[Patrick1960]

Hartelijk dank om het toch nog verder uit werken.
Eerlijk is eerlijk........mij zou het niet gelukt zijn!
Thanks!