berekeningen in driehoek

[Janosik]

Ik kreeg onlangs een leuk vraagstukje doorgestuurd.



Omdat er een hoek gevraagd wordt, heb ik zelf voor het gemak Z=1 gesteld.
De oplossing is niet zo moeilijk, maar het lukt me niet om 'de cruciale gelijkheid' te bewijzen.

Dit is wat ik deed.

Met de sinus-regel kan ik de lengte van B berekenen:
\(\frac{B}{\sin(20)}=\frac{1}{\sin(100)}\)
\(B=\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\approx0.347296\)

Daarmee kan ik de lengte van A berekenen:
\(A=1-B\)
\(A=1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\approx0.652704\)

Met de cosinus-regel kan ik nu de lengte van C berekenen:
\(C^{2}=A^{2}+B^{2}-2AB\cos(20)\)
\(C^{2}=\left(1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)^{2}+\left(\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)^{2}-2\left(1-\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)\left(\frac{\sin(20)}{\sin(100)}\right)\cos(20)\)
\(C^{2}\approx0.120615\)
\(C\approx0.347296\)

Het viel me onmiddellijk op dat C=B, maar het lukt me niet om dat te bewijzen...
Kan iemand me een duwtje in de juiste richting geven?

[arie]

Een goniometrisch bewijs:
Je had hierboven al aangetoond (enigszins vrij vertaald):
\(B=\frac{\sin 20}{\sin 100} = \frac{\sin 20}{\sin 80}\)
\(A=1-B\)
\(C^2 = (1-B)^2 + B^2 - 2(1-B)B\cos 20\)

Vervolgens moeten we bewijzen dat B = C, dus dat:
\(B^2 = (1-B)^2 + B^2 - 2(1-B)B\cos 20\)
ofwel dat
\((1-B) = 2B\cos 20\)

Gebruik nu dat \(B = \frac{\sin 20}{\sin 80}\), en pas herhaald de dubbelhoeksformules voor sinus en cosinus toe. (zie zo nodig https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_t ... e_formulae)
Indien je hiermee alles reduceert tot termen met cos(20°), zal je waarschijnlijk ook kunnen gebruiken dat
\(\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x\)

Kom je hiermee verder?

[Janosik]

Bedankt arie, ik ga ermee aan de slag!

edit:
wat me onmiddellijk opvalt is dit:
\(B=\frac{\sin(20)}{\sin(100)}=\frac{\sin(20)}{\sin(80)}\)
Het lijkt maar een detail, maar 80 = 20 x 4
En dan komen die verdubbelingsformules uiteraard wel van pas.
Met 20 en 100 had ik daar niet veel aan!

Nogmaals bedankt, en ik ga ermee aan de slag...