inhoud berekenen

[LaLa]

Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat bij wenteling van de kromme met vergelijking y=x^3 voor X element van [0,1] om de as met vergelijking x=1.
Kan iemand mij hierbij helpen men moet gebruik maken van integralen

[arie]

Stap 1: Schuif alles 1 eenheid naar links, zodat de omwentelings-as samenvalt met de y-as (= de lijn x=0):
De grafiek van f (blauw in bovenstaand plaatje) gaat dan over in de grafiek van g (groen), waarvoor geldt:
\(g(x) = f(x+1) = (x+1)^3\)
ofwel
\(g: \;\; y = (x+1)^3\)
Hierbij loopt x nu van -1 t/m 0.

Stap 2: herschrijf g als functie van y:
\(g: \;\; x =\; ...\)
ofwel
\(g(y) = \; ...\)
Voor elke gegeven hoogte y kunnen we hiermee de bijbehorende waarde van x bepalen

Stap 3: Bereken het volume V met de formule
\(\displaystyle V = \int_{y=c}^{y=d} \pi \cdot \left(g(y)\right)^2 \;\; dy\)
Bepaal daarvoor eerst de integratiegrenzen c en d (als x loopt van -1 t/m 0, welke waarden kan y dan aannemen?)
Bereken dan de integraal.

Het idee is dat je het omwentelingslichaam kan zien als een stapel ronde schijven (zoals damschijven),
elke schijf met een grondvlak met straal \(r = |g(y)|\) dus oppervlak \(A=\pi r^2 = \pi \cdot (g(y))^2\),
en elk met hoogte \(\Delta y\)
Het volume van een schijf op hoogte y wordt dan gegeven door \(V_{schijf}= \pi \cdot (g(y))^2 \cdot \Delta y\)
Het gevraagde volume V van het volledige omwentelingslichaam is dan de som van y=c tot y=d van de volumina van al die schijven, waarbij we hoogte \(\Delta y\) zo klein mogelijk maken = richting nul laten gaan = \(dy\).
Dat geeft dan bovenstaande integraal.


Hoe ver kom je hiermee?