Hulp bij pariteit Rubik's kubus

Heb je een leuke wiskunde puzzel of een mooi vraagstuk gevonden en wil je die met ons delen? Post het hier.
Plaats reactie
Tess2004
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 1
Lid geworden op: 15 mar 2022, 18:19

Hulp bij pariteit Rubik's kubus

Bericht door Tess2004 » 15 mar 2022, 18:27

Ik moet een eindwerk maken over de Rubik's kubus en wou graag spreken over de pariteit. Ik begrijp wat een even en oneven pariteit inhoud. Ik heb online gevonden dat elke permutatie met de Rubik's kubus een even pariteit heeft, maar ik weet niet hoe ze daaraan komen. Kan iemand dit even uitleggen?

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3928
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Hulp bij pariteit Rubik's kubus

Bericht door arie » 17 mar 2022, 16:15

Afbeelding

Neem de rotatie met de klok mee van een vlak van de Rubikse kubus.
Deze rotatie kunnen we weergeven met de permutatie σ, waarbij we σ definieren als:
σ(i) = de nieuwe positie van het blok dat nu op positie i zit,
en de posities de rode getallen zijn in bovenstaande figuur.
Dus σ(1)=3, σ(3)=5, σ(5)=7, σ(7)=1 (hoekblokken van de kubus)
en σ(2)=4, σ(4)=6, σ(6)=8, σ(8)=2 (ribben van de kubus).
In cykel-notatie noteren we dit als σ = ( 2 4 6 8 ) ( 1 3 5 7 ), waarbij we de cykels van rechts naar links toepassen.

In bovenstaande figuur zijn 2 rotaties σ na elkaar uitgevoerd.
In zwart zijn de kleuren van elk blok, verschillende zwarte nummers mogen dezelfde blokkleur coderen,
bijvoorbeeld 1=2=3=groen, 4=6=blauw, 5=7=geel en 8=wit.
De zwarte nummering is hier alleen gebruikt om te laten zien welk blok na de rotatie op welke positie terecht komt.
De rode nummering is de nummering van de posities op de kubus.
Als het vlak in het plaatje het voorvlak is, dan is 1=linksboven, 3=rechtsboven, 5=rechtsonder en 7=linksonder.

In het algemeen kunnen we k-cykels omzetten naar 2-cykels (= verwisselingen) via deze formule:
\(( x_1 \; x_2\; ...\; x_k ) = ( x_1\; x_k ) ( x_1 \; x_{k-1} ) .... (x_1\; x_3) (x_1\; x_2)\)
(zie bv. https://gubner.ece.wisc.edu/notes/Permu ... inants.pdf, paragraaf 4, formule (4))

In ons geval kunnen we met deze formule beide 4-cykels omzetten in deze reeks enkelvoudige verwisselingen:
σ = ( 2 4 6 8 ) ( 1 3 5 7 ) = ( 2 8 ) ( 2 6 ) ( 2 4 ) ( 1 7 ) ( 1 5 ) ( 1 3 )
Deze 6 verwisselingen worden weer van rechts naar links op de kubus uitgevoerd:

Afbeelding

Permutatie σ is dus te beschrijven met 6 verwisselingen, dat wil zeggen dat de pariteit van σ even is.
Omdat er met elke draaiing van een zijvlak van de kubus steeds een even aantal verwisselingen zijn, kunnen we met de samenstelling van een k aantal draaiingen naar keuze nooit precies 1 enkele verwisseling overhouden.
De permutatie (a b), bestaande uit slechts 1 verwisseling (waarbij alleen de 2 blokjes op 2 verschillende posities a en b worden verwisseld) is dus niet mogelijk, ook niet als we alle vlakken van de kubus een onbeperkt aantal keren mogen draaien.

Kom je hiermee verder?

Plaats reactie