Ik zie de stappen, maar ik begrijp niet hoe je erbij komt... https://imgur.com/a/C9lw6lY
https://imgur.com/a/C9lw6lY
vraag hoe oplossen
Re: vraag hoe oplossen
Alle noemers van de breuken hebben de vorm \(f^k\left(\frac{1}{k}\right)\)
Het ligt dan voor de hand om te zoeken naar een eenvoudige uitdrukking hiervoor:
\(f^k\left(\frac{1}{k}\right) =\; ...\)
Om te zien wat dit betekent kan je zo nodig eerst eens kijken naar een voorbeeld met een eenvoudige waarde van k.
Kies bijvoorbeeld k=3, waarbij we f drie keer moeten toepassen volgens de definitie van samenstelling:
\(f^3\left(\frac{1}{3}\right) = f \circ f \circ f\left( \frac{1}{3}\right) = f\left( f\left( f\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\)
Dit werken we van binnen naar buiten uit volgens het functievoorschrift van f:
\(= f\left( f\left( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}\right)\right)\)
\(= f\left( f\left( \frac{1}{1+3}\right)\right)\)
\(= f\left( f\left( \frac{1}{4}\right)\right)\)
en dan opnieuw volgens het functievoorschrift van f:
\(= f\left( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}\right)\)
\(= f\left( \frac{1}{1+4}\right)\)
\(= f\left( \frac{1}{5}\right)\)
en tenslotte de derde en laatste f:
\(= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+1}\)
\(= \frac{1}{1+5}\)
\(= \frac{1}{6}\)
Bovenstaande berekening wordt in je oplossing (= in je antwoordmodel) op dezelfde wijze uitgerekend, maar dan in het algemeen (= voor elke gegeven waarde k).
Op die manier komen ze tot de formule
\(f^k\left( \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{2k}\)
waarbij ze gebruik maken van het feit dat voor functie f (éénmalig uitgevoerd) voor elke n groter dan nul steeds geldt:
\(f \left( \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n+1}\)
zoals direct volgt uit het functievoorschrift van f.
Dat geeft tenslotte toegepast op elke term van de opgave:
\(\frac{1}{f^1\left( \frac{1}{1}\right)}+\frac{1}{f^2\left( \frac{1}{2}\right)}+\frac{1}{f^3\left( \frac{1}{3}\right)}+\; ... \; \frac{1}{f^{13}\left( \frac{1}{13}\right)}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{6}} + ... + \frac{1}{\frac{1}{26}}\)
\(= 2+4+6+...+26\)
In feite gebeurt hier dus niets anders dan het herhaald toepassen van de gegeven definities.
Wordt het hiermee wat duidelijker?
Het ligt dan voor de hand om te zoeken naar een eenvoudige uitdrukking hiervoor:
\(f^k\left(\frac{1}{k}\right) =\; ...\)
Om te zien wat dit betekent kan je zo nodig eerst eens kijken naar een voorbeeld met een eenvoudige waarde van k.
Kies bijvoorbeeld k=3, waarbij we f drie keer moeten toepassen volgens de definitie van samenstelling:
\(f^3\left(\frac{1}{3}\right) = f \circ f \circ f\left( \frac{1}{3}\right) = f\left( f\left( f\left(\frac{1}{3}\right)\right)\right)\)
Dit werken we van binnen naar buiten uit volgens het functievoorschrift van f:
\(= f\left( f\left( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}\right)\right)\)
\(= f\left( f\left( \frac{1}{1+3}\right)\right)\)
\(= f\left( f\left( \frac{1}{4}\right)\right)\)
en dan opnieuw volgens het functievoorschrift van f:
\(= f\left( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+1}\right)\)
\(= f\left( \frac{1}{1+4}\right)\)
\(= f\left( \frac{1}{5}\right)\)
en tenslotte de derde en laatste f:
\(= \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}+1}\)
\(= \frac{1}{1+5}\)
\(= \frac{1}{6}\)
Bovenstaande berekening wordt in je oplossing (= in je antwoordmodel) op dezelfde wijze uitgerekend, maar dan in het algemeen (= voor elke gegeven waarde k).
Op die manier komen ze tot de formule
\(f^k\left( \frac{1}{k} \right) = \frac{1}{2k}\)
waarbij ze gebruik maken van het feit dat voor functie f (éénmalig uitgevoerd) voor elke n groter dan nul steeds geldt:
\(f \left( \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n+1}\)
zoals direct volgt uit het functievoorschrift van f.
Dat geeft tenslotte toegepast op elke term van de opgave:
\(\frac{1}{f^1\left( \frac{1}{1}\right)}+\frac{1}{f^2\left( \frac{1}{2}\right)}+\frac{1}{f^3\left( \frac{1}{3}\right)}+\; ... \; \frac{1}{f^{13}\left( \frac{1}{13}\right)}\)
\(=\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{4}}+\frac{1}{\frac{1}{6}} + ... + \frac{1}{\frac{1}{26}}\)
\(= 2+4+6+...+26\)
In feite gebeurt hier dus niets anders dan het herhaald toepassen van de gegeven definities.
Wordt het hiermee wat duidelijker?
Re: vraag hoe oplossen
SUPER! Heel erg bedankt Arie!