Kans op wedstrijd tussen teams uit hetzelfde land

Continue & discrete verdelingen, toevalsveranderlijken, betrouwbaarheidsintervallen, correlaties.
Plaats reactie
R2-DH2
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 28 dec 2021, 09:48

Kans op wedstrijd tussen teams uit hetzelfde land

Bericht door R2-DH2 » 28 dec 2021, 22:02

Voor mij is het al 30 jaar geleden dat ik iets met statistiek deed, vandaar mijn beroep op de specialisten.

Mijn vraag heeft betrekking op de kans dat in een competitie 2 teams uit hetzelfde land tegen elkaar zouden uitkomen. Dit kan bijvoorbeeld het geval zijn met Europees voetbal.

Ik stel mij voor dat 16 teams zich voor een knock-out hebben geplaatst. Dit worden dan 8 sets van 2 teams. Als deze teams uit verschillende landen afkomstig zijn is er geen probleem. Ik dacht dat het aantal mogelijke combinatie 8!/(2!x6!)= 28 zou zijn.
  • Maar als nu 2 van de 16 teams uit hetzelfde land afkomstig zijn, dan ontstaat er 1 ongewenste uitkomst. De kans dat dat optreedt is dan 1/28.
  • In geval van 3 dezelfde teams uit 1 land, zijn er 3 [3!/(2!x1!) ?] ongewenste uitkomsten. Dus die kans wordt dan 3/28.
Maar nu de vragen.
1. Waren mijn 2 berekeningen wel/niet correct?
2. Wat gebeurt er als er 4 teams uit hetzelfde land afkomstig zijn. Wordt de kans dan dan 4!/(2!x2!) = 6/28?
3. Stel dat 2 landen elk 2 teams bij de laatste 16 hebben. Hoe bereken ik dan de kans dat er geen teams uit hetzelfde land tegen elkaar uitkomen?

Ik hoop dat iemand mij wegwijs kan maken.

arie
Moderator
Moderator
Berichten: 3928
Lid geworden op: 09 mei 2008, 09:19

Re: Kans op wedstrijd tussen teams uit hetzelfde land

Bericht door arie » 31 dec 2021, 12:24

Afbeelding

2 teams uit land A:

Hierboven de wedstrijdboom voor de laatste 16 teams in de knock-out fase.
Stel er zijn 2 teams uit land A, en we plaatsen eerst het eerste A-team in de boom.
Dat kan op 16 manieren, maar omdat de boom verder nog leeg is, kunnen we alle takken altijd zodanig wisselen dat A op de bovenste plaats belandt (= positie 1).
Voor het tweede A-team zijn er dan 15 posities over (posities 2 t/m 16).
De 14 andere posities worden ingenomen door de overige eindronde-teams, allemaal uit andere landen.

We onderscheiden 4 situaties voor de loting van het 2e A-team (P, Q, R en S):

situatie P: de 2e A op positie 2: de kans hierop = 1/15
de kans dat beide teams uit land A tegen elkaar spelen is dan 1 (ze spelen zeker tegen elkaar in hun eerste wedstrijd),
dit levert een bijdrage aan de totale kans die we zoeken van (1/15) * 1 = 1/15

situatie Q: de 2e A op positie 3 of 4: de kans hierop = 2/15
beide A-teams spelen dan alleen tegen elkaar als ze allebei hun eerste wedstrijd winnen.
Als alle teams nagenoeg even sterk zijn, kunnen we deze kansen voor beide teams op 1/2 stellen.
De bijdrage aan de totale kans is nu dus (2/15) * (1/2) * (1/2) = (1/15) * (1/2)

situatie R: de 2e A op positie 5, 6, 7 of 8: de kans hierop = 4/15
beide A-teams spelen dan alleen tegen elkaar als ze allebei hun eerste 2 wedstrijden winnen.
Deze kansen zijn voor beide teams (1/2) * (1/2) = 1/4 .
De bijdrage aan de totale kans is nu dus (4/15) * (1/4) * (1/4) = (1/15) * (1/4)

situatie S: de 2e A op positie 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 of 16: de kans hierop = 8/15
beide A-teams spelen dan alleen tegen elkaar als ze allebei hun eerste 3 wedstrijden winnen.
Deze kansen zijn voor beide teams (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8 .
De bijdrage aan de totale kans is nu dus (8/15) * (1/8) * (1/8) = (1/15) * (1/8)

De totale kans dat de 2 A-teams elkaar ergens in het toernooi ontmoeten is dus
(1/15) + (1/15) * (1/2) + (1/15) * (1/4) + (1/15) * (1/8)
= (1/15) * ( 1 + (1/2) + (1/4) + (1/8) )
= (1/15) * ( (8/8) + (4/8) + (2/8) + (1/8) )
=(1/15) * (15/8)
= 1/8


3 teams uit land A:

Dergelijk gevalsonderscheid kan je ook maken voor 3 teams.
Als ik dit overlaat aan de computer kom ik uit op:
- kans op geen A-A wedstrijden = 93/140 ~= 0.6643
- kans op 1 A-A wedstrijd = 83/280 ~= 0.2964
- kans op 2 A-A wedstrijden = 11/280 ~= 0.0393


4 teams uit land A:

Evenzo voor 4 teams uit land A:
- kans op geen A-A wedstrijden = 783/1820 ~= 0.4302
- kans op 1 A-A wedstrijd = 75/182 ~= 0.4121
- kans op 2 A-A wedstrijden = 123/910 ~= 0.1352
- kans op 3 A-A wedstrijden = 41/1820 ~= 0.0225


2 teams uit land A en 2 teams uit land B:

- kans op (geen A-A wedstrijd en geen B-B wedstrijd) = 2089/2730 ~= 0.7652
- kans op (wel A-A wedstrijd maar geen B-B wedstrijd) = 1199/10920 ~= 0.1098
- kans op (geen A-A wedstrijd maar wel B-B wedstrijd) = 1199/10920 ~= 0.1098
- kans op (wel A-A wedstrijd en wel B-B wedstrijd) = 83/5460 ~= 0.0152

R2-DH2
Nieuw lid
Nieuw lid
Berichten: 2
Lid geworden op: 28 dec 2021, 09:48

Re: Kans op wedstrijd tussen teams uit hetzelfde land

Bericht door R2-DH2 » 07 jan 2022, 09:18

Sorry voor mijn late reactie. Ik was in de veronderstelling dat ik een e-mail zou krijgen met 'er is een reactie'.

Maar wat een geweldige uitleg. Hier kan ik zeker wat mee.

Heel erg bedankt.

Plaats reactie