Wat is de kans dat een bericht uit vijf letters bestaat uit 2A’s , 2B’s en 1C?

[Henri1972]

Twee vragen:

-Wat is fe kans dat je 2A’s, 2B’s en 1C in een 5 letterbericht? Je kunt herhaaldelijk kiezen uit A,B of C. Totaal aantal permutaties is dan \(3^5= 243\).

Wannneer ik bijvoorbeeld het aantal keer dat 3H wordt gegooid zou moeten bereken bij 6 worpen met een eerlijke munt is dat \({6\choose 3}\), aangezien de overige plaatsen met T worden opgevuld. Hoe doe je dat met 3 (A,B,C) ipv 2 (H,T)?

Eerst dacht ik aan \({5\choose 2}* {3\choose 2}\) gedeeld door 243. Waarbij de vijfde plaats wordt opgevuld met de C.

- Tweede vraag: wat is de kans dat je op zijn minst één A hebt. Dus 1- P(geen A) lijkt mij.
1- (P(twee B’s) + P(twee C’s) ). Maar hoe bereken je dat?

Graag hulp, alvast bedankt!

[Henri1972]

Bij de tweede vraag moet het zijn :

1 - P((BBBBBB) tot en met P(CCCCCC)) =
1+5+10+10+5+1 =32, dan 1- (32/243). Is dat correct?

[arie]

-Wat is fe kans dat je 2A’s, 2B’s en 1C in een 5 letterbericht? Je kunt herhaaldelijk kiezen uit A,B of C. Totaal aantal mogelijke uitkomsten is dan \(3^5= 243\).

Wannneer ik bijvoorbeeld het aantal keer dat 3H wordt gegooid zou moeten bereken bij 6 worpen met een eerlijke munt is dat \({6\choose 3}\), aangezien de overige plaatsen met T worden opgevuld. Hoe doe je dat met 3 (A,B,C) ipv 2 (H,T)?

Eerst dacht ik aan \({5\choose 2}* {3\choose 2}\) gedeeld door 243. Waarbij de vijfde plaats wordt opgevuld met de C.

Klopt:
je kiest eerst 2 uit 5 mogelijke plaatsen voor de A: \({5 \choose 2} = 10\) mogelijkheden,
dan kies je uit de 3 overgebleven plaatsen de 2 plaatsen voor de B: \({3 \choose 2} = 3\) mogelijkheden,
tenslotte is er nog 1 plaats over voor de C: \({1 \choose 1} = 1\) mogelijkheid
In totaal dus \({5 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} \cdot {1 \choose 1} = 10 \cdot 3 \cdot 1 = 30\) mogelijkheden.
Hiermee is de gevraagde kans 30/243 (= 10/81)

Merk op: het maakt niet uit in welke volgorde je de letters kiest, bijvoorbeeld:
eerst de enkele C uit 5 mogelijke plaatsen: \({5 \choose 1} = 5\) mogelijkheden,
dan kies je uit de 4 overgebleven plaatsen de 2 plaatsen voor de A: \({4 \choose 2} = 6\) mogelijkheden,
tenslotte zijn er nog 2 plaats over voor de twee B's: \({2 \choose 2} = 1\) mogelijkheid
In totaal dus \({5 \choose 1} \cdot {4 \choose 2} \cdot {1 \choose 1} = 5 \cdot 6 \cdot 1 = 30\) mogelijkheden = het aantal dat we hierboven ook vonden.

Dan nog even dit: het aantal mogelijke uitkomsten \(( =3^5)\) is geen permutatie (zoals jij schreef) maar een herhalingsvariatie (zie bv https://nl.wikipedia.org/wiki/Herhalingsvariatie).

[arie]

Bij de tweede vraag moet het zijn :

1 - P((BBBBBB) tot en met P(CCCCCC)) =
1+5+10+10+5+1 =32, dan 1- (32/243). Is dat correct?

Correct, maar het kan sneller:
[1] Per plaats:
De kans op A = \(\frac{1}{3}\)
De kans op B of C = de kans op NIET A = \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
[2] Dan voor de 5 plaatsen:
De kans op nergens A = kans op (\(1^e\) geen A EN \(2^e\) geen A EN ... EN \(5^e\) geen A)
= \(\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot ... \cdot \frac{2}{3}\)
= \(\left(\frac{2}{3}\right)^5 =\; \frac{32}{243}\)

Dus de (gevraagde) kans op ten minste 1 A \(= 1 - \frac{32}{243} = \frac{211}{243}\)

[Henri1972]

Bedankt Arie voor je reactie!

Ik zal nog eens goed kijken naar de herhalingsvariatie en het verschil met permutaties. Ik ken alleen N objecten uit N objecten \(N!\), k objecten uit N objecten met volgorde en herhaling/teruglegging \(P^k\), k objecten uit N objecten met volgorde en zonder herhaling of teruglegging \(N! / ( N-k)!\), combinaties en k objecten uit N objecten zonder volgorde, maar met herhaling of teruglegging\((k+(N-1)/(N-1))\(\)\)

[Henri1972]

Wat betreft de tweede vraag, ook bedankt! Gelukkig zat ik in de buurt, maar jouw oplossing is zeker sneller.

[arie]

[1] Bij permutaties (= k-rangschikking) mag je NIET herhalen, dat zijn jouw \(\frac{n!}{(n-k)!}\) mogelijkheden
Bij herhalingsvariaties (= k-herhalingsrangschikking) mag je WEL herhalen: dat levert \(n^k\) mogelijkheden.
In beide gevallen is de volgorde van belang: alle elementen staan op een rij, verschillende rijtjes zijn verschillende uitkomsten.

Voorbeeld:
Permutatie van 2 letters uit 3 mogelijke letters (A, B en C): voor de eerste letter een keuze uit 3 mogelijkheden, en voor de tweede letter een keuze uit 2 mogelijkheden (= de 2 overgebleven letters):
3*2 = 6 verschillende rijtjes: (A,B), (A,C), (B,A), (B,C), (C,A) en (C,B)

Herhalingsrangschikking van 2 letters uit 3 mogelijke letters (A, B en C):
\(3^2 = 9\) verschillende rijtjes: (A,A), (A,B), (A,C), (B,A), (B,B), (B,C), (C,A), (C,B) en (C,C)


[2] Als voor de uitkomst van een trekking de volgorde NIET van belang is, dan spreken we van combinaties:
k-combinatie: zonder volgorde, zonder herhaling = \({n \choose k}\) mogelijkheden
k-herhalingscombinatie: zonder volgorde , met herhaling = \({n-1+k \choose k}\) mogelijkheden

Voorbeeld:
Combinatie: keuze van 2 letters uit 3 mogelijke letters (A, B en C):
\({3 \choose 2} = 3\) verschillende mogelijkheden: {A,B}, {A,C}, en {B,C}
in tegenstelling tot de rangschikking is in dit geval nu {A,B} = {B,A}, en is {A,C} = {C,A} en is {B,C} = {C,B}: de onderlinge volgorde van de letters maakt hier dus niet uit voor het aantal mogelijke uitkomsten.

Herhalingscombinatie van 2 letters uit 3 mogelijke letters (A, B en C):
\({3-1+2 \choose 2} = 6\) verschillende rijtjes: {A,A}, {A,B}, {A,C}, {B,B}, {B,C} en {C,C}
ook nu geldt: {A,B}={B,A}, en {A,C}={C,A} en {B,C}={C,B}, dit in tegenstelling tot de herhalingsrangschikkingen hierboven.