1. De derde macht
De derde macht van de straal is afkomstig van het aantal dimensies = 3.
Vergelijk een vierkant (= 2 dimensies) waarvan het oppervlak A = lengte * breedte = L * B
Maken we lengte en breedte allebei (allebei, want anders is het geen vierkant meer) c keer zo groot,
dan is het nieuwe oppervlak A' = (c*L) * (c*B) = c * c * L * B =
\(\text{c}^2\) * L * B.
Dit is dus
\(c^2\) keer het oude oppervlak.
Voor een kubus (= 3 dimensies) is het volume V = lengte * breedte * hoogte = L * B * H
Maken we lengte, breedte en hoogte allemaal c keer zo groot, dan is het nieuwe volume:
V' = (c*L) * (c*B) * (c*H) = c * c * c * L * B * H =
\(\text{c}^3\) * L * B * H.
Dit is dus
\(c^3\) keer het oude volume.
Hetzelfde geldt voor een cirkel en een bol:
Als we de straal r keer zo groot maken,
dan wordt het cirkeloppervlak in 2 richtingen r keer zo groot, in totaal
\(\text{r}^2\) keer,
en wordt het bolvolume in 3 richtingen r keer zo groot, in totaal
\(\text{r}^3\) keer.
2. De factor pi:
Het oppervlak van de cirkel, en daarmee ook de constante waarmee je
\(r^2\) moet vermenigvuldigen om dit oppervlak te bepalen, kan je benaderen door binnen het cirkeloppervlak rechthoeken te tekenen met vaste verticale lengte en maximale horizontale lengte. Deze laatste afstand kan je opmeten, vermenigvuldigen met de vertikale lengte om het oppervlak van elke rechthoek te krijgen, en vervolgens al die oppervlakten bij elkaar op te tellen.
In het voorbeeld een cirkel met straal r = 16.
Bij een verticale lengte = 4 is de som van al die oppervlakten 639, waardoor pi = 639/(16*16) = 2.50
Bij een verticale lengte = 2 is de som van al die oppervlakten 727, waardoor pi = 727/(16*16) = 2.840
Bij een verticale lengte = 1 is de som van al die oppervlakten 767.55, waardoor pi = 767.55/(16*16) = 2.998
Hoe kleiner we de verticale lengtes nemen, hoe kleiner het witte gedeelte binnen de cirkel dat overblijft, hoe beter we het oppervlak bepalen en hoe beter de benadering van pi.
Uiteindelijk zullen we uitkomen op totale cirkeloppervlak
\(A = \pi r^2\)
3. De bol
In plaats van het oppervlak van de cirkel kunnen we de figuur hierboven ook zien als de doorsnede van een bol, die dan bestaat uit een stapel groene en blauwe schijven (bv. damstenen) met een verschillende straal.
Dit zijn cylinders, met oppervlak A en hoogte h = 4, 2 resp. 1 in bovenstaand plaatje.
A= het oppervlak van de cirkel met straal r =
\(\pi r^2\)
r = de helft van de horizontale afstand van elke schijf, die we op kunnen meten.
Het volume van elke schijf = V = A * h
Net als bij het oppervlak van de cirkel hierboven kunnen we het volume van de bol benaderen door de volume's van al de schijven bij elkaar op te tellen.
Ook hier geldt weer: hoe meer schijven we gebruiken, hoe nauwkeuriger onze benaderingen zijn.
Uiteindelijk zullen we steeds dichter naar de
\(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) gaan.
4. De integraal
De straal r van elke schrijf kunnen we ook uitdrukken in de straal R van de bol en de hoogte z boven/onder het middenvlak:
Volgens de stelling van Pythagoras geldt:
\(z^2 + r^2 = R^2\)
dus
\(r^2 = R^2 - z^2\)
Het oppervlak van de schijf op hoogte z is dan
\(A(z)=\pi r^2 = \pi (R^2 - z^2)\)
Laten we de schijfhoogte naar nul gaan, dan gaat de som van het volume van al die schijven naar het volume gegeven door deze integraal:
\(V = \displaystyle \int_{z=-R}^R \pi(R^2 - z^2) \; dz = \pi \cdot \left[ R^2z - \frac{1}{3}z^3 \right]_{-R}^R = \pi \cdot \left( R^3 - \frac{1}{3}R^3 - (-R^3 + \frac{1}{3}R^3) \right) = \frac{4}{3}\pi R^3 \)
Noot 1: In groep 5 zal meten, uitrekenen (lengte*breedte) en optellen van rechthoekige oppervlakten wel lukken, maar de rest gaat waarschijnlijk te ver.
Noot 2: bovenstaande benaderingsmethode is erg duidelijk maar ook erg basaal, er zijn betere en efficientere methoden.
