vectoren oef

[Timson28]

Een regelmatig viervlak is een ruimtelichaam dat opgebouwd is uit vier gelijkzijdige driehoeken.Als we de zwaartepunten van de zijvlakken van een regelmatig viervlak verbinden, krijgen we het duale viervlak. Hoeveel keer gaat het duale viervlak in het oorspronkelijke?

Kan iemand uitleggen hoe je dit oplost want ik snap niet hoe je moet beginnen. De uitkomst zou 27 moeten zijn.

[arno]

Weet je wat het duale veelvlak van een regelmatig viervlak is?

[Timson28]

de kleine tetraëder ?

[arie]

Klopt, en dat staat in feite ook al in de vraagstelling:

Een regelmatig viervlak is een ruimtelichaam dat opgebouwd is uit vier gelijkzijdige driehoeken.Als we de zwaartepunten van de zijvlakken van een regelmatig viervlak verbinden, krijgen we het duale viervlak.

Noem de hoekpunten van het grote viervlak A, B, C en D,
dan hebben de zijden daarvan allemaal lengte
\(|a-b| = |a-c| = |a-d| = |b-c| = |b-d| = |c-d|\).
Noem de hoekpunten van het duale viervlak P, Q, R en S, zoals in dit plaatje:



Dan is P het zwaartepunt van driehoek ABC.
In een vorige opgave had je het zwaartepunt van een driehoek ABC al uitgedrukt in vectoren a, b en c,
gebruik die formule ook hier:

\(p = ...\)

Datzelfde kan je doen voor punt Q = het zwaartepunt van driehoek ABD.

\(q = ...\)

Wat is dan de lengte van een zijde van het duale viervlak:

\(|p-q| = ...\)

Geldt dat ook voor de andere zijdes van het duale viervlak?

En wat betekent dat voor het volume van het duale viervlak ten opzichte van het volume van ABCD ?