vectoren

[Timson28]

In een driehoek zijn D,E en F respectievelijk de middens van (BC) (AC) en (AB) . Bewijs dat driehoek abc en def hetzelfde zwaartepunt hebben.

Wat ik heb gedaan.

AZ=2ZD
AP+PZ=2(ZP+PD)
-PA+PZ=2(-PZ+(PC+PB)/2)
PZ=(PA+PB+PC)/3

Z=(A+B+C)/3

Dit ook voor de andere driehoek Z=(E+D+F)/3

(A+B+C)/3 =(E+D+F)/3

(E+D+F)/3 = ((A+C)/2 )+((C+B)/2)+((A+B)/2)/3 = ((A+C+C+B+A+B)/2)/3 = (2A+2B+2C)/6 = (A+B+C)/3


klopt dit?

[arie]

Het punt P heb je niet gedefinieerd (mogelijk staat dat in de opgave??).
Maar de uitkomst van het eerste deel klopt wel:

Het zwaartepunt van een driehoek ABC = \(Z_{ABC} = (A+B+C)/3\)

Mogelijk heb je dit ook al gehad als stelling.
Je kan daarmee direct door naar de laatste (lange) regel van je bewijs:

\(Z_{DEF} = (D+E+F)/3 = \; ... \; = \; ... \; = \; ... \; = (A+B+C)/3 = Z_{ABC}\)

[Timson28]

Dankje Arie


Zou ik nog één vraag mogen stellen ? De laatste. Het is een oefening maar ik snap deze niet.

[arie]

... Zou ik nog één vraag mogen stellen ? ...

Je mag hier onbeperkt vragen stellen
(als het echt veel te veel wordt dan laten we dit wel weten, maar dat is nog nooit gebeurd).

[Timson28]

Ik heb de oefening bij bestanden toegevoegd.

Ik snap niet hoe ik aan moet beginnen. Ik dacht eerst om assen te tekenen en dan zo voort te gaan maar dit is niet de juist manier denk ik.

[Timson28]

Ik kan geen foto toevoegen blijkbaar maar de vraag is:
gegeven een niet regelmatige piramide met top t en grondvlak abcd. z1 is het zwaartepunt van het viervlak tabl en z2 is het zwaartepunt van het viervlak tabd

en t is de top


toon aan dat Z1Z2=k*DC maar dan vectoren

[arie]

Is deze formule bekend voor het zwaartepunt voor een 4-vlak met 4 hoekenpunten A, B, C en D:

\(\overline{z} = \frac{\overline{a}\;+\;\overline{b}\;+\;\overline{c}\;+\;\overline{d}}{4}\)

Toon dan aan dat je vector \((\overline{z_2} - \overline{z_1})\) kan uitdrukken in vector \((\overline{d}-\overline{c})\)


Zo niet, heb je dan andere formules die je mag gebruiken, bijvoorbeeld het verband tussen enerzijds het zwaartepunt van de piramide en anderzijds de top en het zwaartepunt van het grondvlak ?

[Timson28]

Ja die formule ken ik maar wat moet je met die k doen? k heb ik wel gevonden dat is -1/4 maar ik veronderstel dat je dit gelijkheid eerst moet aantonen voor dat je k berekend.

[arie]

\(Z_1\) is het zwaartepunt van viervlak \(TABC\), dus in vectoren:

\(\textbf{z}_1 = \frac{\textbf{t}+\textbf{a}+\textbf{b}+\textbf{c}}{4}\)

\(Z_2\) is het zwaartepunt van viervlak \(TABD\), dus in vectoren:

\(\textbf{z}_2 = \frac{?}{?}\)

Gebruik deze 2 gelijkheden om de vector van Z1Z2 te bepalen:

\(\textbf{z}_2 - \textbf{z}_1 = \frac{?}{?} - \frac{?}{?}\)

en schrijf tenslotte de laatste 2 breuken als 1 breuk.

Wat krijg je dan?

[Timson28]

ik ga het even uitwerken

[Timson28]

Dan krijg je Z2-Z1= (D-C)/4

[arie]

Dan ben je er al: je hebt zojuist aangetoond:

\(\textbf{z}_2 - \textbf{z}_1 = \frac{1}{4} \cdot (\textbf{d} - \textbf{c})\)

dus de vector van Z1 naar Z2 is 1/4 van de vector van C naar D,
ofwel: k = 1/4.


PS:

Kijk nog even naar de richting van de vectoren zoals die precies in de opgave staat:

\(\textbf{z}_2 - \textbf{z}_1 = -\frac{1}{4} \cdot (\textbf{c} - \textbf{d})\)

dus de vector van Z1 naar Z2 is -1/4 van de vector van D naar C,
ofwel: k = -1/4.

In dit geval zijn de richtingen tegengesteld.