onmogelijk

[Lorenz1]

Vraag: een getal bestaat uit verschillende cijfers. De som van de andere getallen met drie verschillende cijfers die men met deze cijfers kan vormen is 2003.

[arie]

Toch mogelijk: 217:
271 + 127 + 172 + 712 + 721 = 2003

Jaartallen tussen 2000 en 2050 waarvoor een drietal verschillende cijfers te vinden is waarvoor dit geldt, zijn:
2003: 217
2013
2017
2022
2026
2040
2045
2048
2049

Kan je voor elk van deze jaartallen het bijbehorende getal van 3 cijfers vinden?

[Lorenz1]

Hartelijk bedankt!!!!!

[arie]

Na deze oplossing te bekijken ben ik tot de conclusie gekomen dat ik niet begrijp hoe u tot deze oplossing gekomen bent.
Zou u mij dit gedetailleerder kunnen uitleggen?

Noem de 3 cijfers van het getal a, b en c, dus het getal is (aan elkaar geschreven):
abc
ofwel (als som geschreven):
100*a + 10*b + c
waarbij a, b en c gehele getallen zijn, met 1 <= a,b,c <= 9,
en a, b en c alle 3 verschillend.

Dan zijn de andere getallen die tot de som leiden:
acb = 100*a + 10*c + b
bac = 100*b + 10*a + c
bca = 100*b + 10*c + a
cab = 100*c + 10*a + b
cba = 100*c + 10*b + a
en als we deze vijf bij elkaar optellen moeten we op 2003 uitkomen:
122*a + 212*b + 221*c = 2003

2003 is oneven, 122*a is altijd even, 212*b is altijd even, dus 221*c moet oneven zijn, dus
c is 1, 3, 5, 7 of 9
Als c=1 dan moet 122*a + 212*b = 2003 - 221*1 = 1782
Als c=3 dan moet 122*a + 212*b = 2003 - 221*3 = 1340
Als c=5 dan moet 122*a + 212*b = 2003 - 221*5 = 898
Als c=7 dan moet 122*a + 212*b = 2003 - 221*7 = 456
Als c=9 dan moet 122*a + 212*b = 2003 - 221*9 = 14
De laatste optie (c=9) kunnen we zo al schrappen: met a en b groter of gelijk aan 1 kunnen we nooit op 14 uitkomen.

De grootst gemene deler van 122 en 212, ggd(122,212) = 2.
Als we de vergelijkingen door 2 delen houden we over:
Als c=1 dan moet 61*a + 106*b = 891
Als c=3 dan moet 61*a + 106*b = 670
Als c=5 dan moet 61*a + 106*b = 449
Als c=7 dan moet 61*a + 106*b = 228

We kunnen nu op verschillende manieren verder:

1. Oplossing via getaltheorie:

Via het uitgebreide algoritme van Euclides vinden we:
61*(-33) + 106*19 = 1
waarmee we bovenstaande vier Diophantische vergelijkingen kunnen oplossen:

Als c=1 zijn de oplossingen (met m een willekeurig geheel getal):
a = 65 + 106*m
b = -29 - 61*m
dit levert geen oplossingen waarbij 1 <= a,b <= 9

Als c=3 zijn de oplossingen (met m een willekeurig geheel getal):
a = 44 + 106*m
b = -19 - 61*m
dit levert geen oplossingen waarbij 1 <= a,b <= 9

Als c=5 zijn de oplossingen (met m een willekeurig geheel getal):
a = 23 + 106*m
b = -9 - 61*m
dit levert geen oplossingen waarbij 1 <= a,b <= 9

Als c=7 zijn de oplossingen (met m een willekeurig geheel getal):
a = 2 + 106*m
b = 1 - 61*m
dit levert voor m=0 een oplossingen waarbij 1 <= a,b <= 9:
a = 2
b = 1
En dit is de oplossing: 217


2. Oplossing via proberen:
Als je niet bekend bent met bovenstaande, kan je natuurlijk ook voor alle waarden van b kijken of er een geschikte waarde van a bij te vinden is:

Als c=1 dan moet 61*a + 106*b = 891 ofwel:
a = (891 - 106*b) / 61
b=2: a=11.13...
b=3: a=9.39...
b=4: a=7.65...
b=5: a=5.91...
b=6: a=4.18...
b=7: a=2.44...
b=8: a=0.70...
b=9: a=-1.03....
dus geen oplossingen

Als c=3 dan moet 61*a + 106*b = 670
b=1: a=9.245....
b=2: a=7.508...
b=4: a=4.032...
b=5: a=2.295...
b=6: a=0.557...
dus geen oplossingen

Als c=5 dan moet 61*a + 106*b = 449
b=1: a=5.622...
b=2: a=3.885...
b=3: a=2.147...
b=4: a=0.409...
dus geen oplossingen

Als c=7 dan moet 61*a + 106*b = 228
b=1: a=2 : de oplossing
b=2: a=0.262...

[Lorenz1]

Beste Arie

Nogmaals hartelijk bedankt!!

mvg

Lorenz1